Halaman
Kelas VIII SMP/MTsSemester I78FungsiBab 3Menyajikan fungsi dalam berbagai bentuk relasi, pasangan terurut, rumus fungsi, tabel, grafik, dan diagram.KD ompetensi asar•Relasi•Fungsi •Diagram Panah•Tabel •Grafik •Rumusata KunciK 1.Menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi dan fungsi.2.Menyatakan suatu fungsi dengan notasi dan rumus.3.Menyusun tabel pasangan nilai peubah dengan nilai fungsi.4.Menggambar grafik fungsi pada koordinat Cartesius.PB engalamanelajarSumber: Dokumen KemdikbudPerhatikan gambar sekelompok siswa yang sedang menerima pelajaran di suatu kelas. Setiap siswa menempati kursinya masing-masing. Tidak mungkin seorang siswa menempati lebih dari satu kursi. Demikian pula tidak mungkin satu kursi ditempati oleh lebih dari satu siswa. Dengan demikian, ada keterkaitan antara siswa dengan kursi yang ditempati. Menurutmu, apakah hal ini termasuk fungsi?
Matematika79PK etaonsepRelasiFungsiBukan Fungsi
Kelas VIII SMP/MTsSemester I80Galileo Galileo dipandang sebagai salah seorang pakar awal tentang Fungsi. Karyanya juga menunjukkan bahwa beliau orang yang mula-mula mengangkat konsep pemetaan antar himpunan. Pada tahun 1638, beliau mempelajari masalah tentang dua lingkaran yang konsentris (memiliki pusat yang sama) dengan pusat di O. Diameter lingkaran pertama dua kali lebih panjang dari diameter lingkaran kedua. Secara kasat mata, banyaknya titik pada lingkaran pertama mestinya lebih banyak bahkan mungkin dua kali lebih banyak dari banyaknya titik pada lingkaran kedua. Tapi, dia mampu membuat pemetaan atau fungsi yang menunjukkan bahwa banyaknya titik pada kedua lingkaran itu sama.Galileo termasuk orang yang tidak mau begitu saja menerima suatu kenyataan. Dia selalu mempertanyakan kebenaran suatu fenomena. Bahkan dia berani mengambil sikap yang berlainan dengan sikap kebanyakan orang pada jamannya. Bahkan dia juga berani berbeda pendapat dengan para pemimpin yang berkuasa. Dia mengenalkan teori Heliosentrisnya yang mengatakan bumilah yang mengitari matahari, bukan matahari yang mengitari bumi. Sayangnya, dia tidak mampu meyakinkan secara ilmiah kebenaran pendapatnya sehingga dia dihukum.Beberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik antara lain:1.Kita harus jeli melakukan pengamatan terhadap fenomena yang ada di sekitar kita.2.Kita harus mau dan mampu mempertanyakan kebenaran fenomena yang ada. Kita tidak boleh hanya diam diri menerima kenyataan yang ada. Kita harus membiasakan diri kita untuk selalu menanya, misalnya: “Mengapa begini? Mengapa bukan Begitu? Kalau dikondisikan begini apa jadinya? Bagaimana kalau dibuat begini? Apa yang terjadi kalau diubah ininya? 3.Kita harus teguh pada pendirian, kalau diyakini itu memang benar, tak terbantahkan. Tetapi, kita harus tetap terbuka dengan segala kritik dan saran demi perbaikan kesimpulan kita.4.Kalau kita ingin selamat, di samping pandai, kita juga harus pintar mengkomunikasikan ide dengan justifikasi yang lengkap, serta dilakukan secara sopan, santun, dan meyakinkan. Galileo (1564 - 1642) M
Matematika81Bisakah kalian memahami pesan berikut:n x q f l q b do l k d wg le d z d ks r wp d z d un x q f l q b do l k d w g lk d z d js r wp d z d uGambar 3.1 Seseorang sedang membaca sandiTanpa mengetahui kode sandinya, pesan di atas tentu tidak bisa dimengerti. Lain halnya jika kita punya kode pesan diberikut:Artinya huruf A di tulis sebagai d, huruf B ditulis sebagai e, huruf C ditulis sebagai fdll, maka sandi-sandi di atas artinya adalah:KUNCINYA LIHAT DI BAWAH POT MAWARMaka, sekarang pesan itu memiliki makna yang jelas.Di dalam kehidupan sehari-hari, seseorang kadangkala merahasiakan pesan yang ingin disampaikan. Dia tidak ingin pesannya dengan mudah bisa dibaca oleh orang lain, apalagi oleh orang yang tidak diinginkan.ABCDEFGHIJKLMdefghijklmnopNOPQRSTUVW XYZqrstuvwxyzabcKarakteristikFungsi
Kelas VIII SMP/MTsSemester I82Memahami Ciri-ciri FungsiegiatanK 3.1Aturan 1:Aturan 2:Aturan 3:Aturan 4:Perhatikan pula kata-kata berikut: 1.Selidiki2.Siapa3.Sebenarnya4.Si UdinCoba lengkapi tabel berikut (boleh di kertas kerja terpisah) dengan kata-kata sandi yang mungkin tertampakkan.Fungsi merupakan salah satu konsep penting dalam matematika. Dengan mengenali fungsi atau hubungan fungsional antar unsur-unsur matematika, kita bisa lebih mudah memahami suatu permasalahan dan menyelesaikannya. Karena itu, memahami fungsi merupakan hal yang sangat diharapkan dalam belajar matematika. Pertama kali, mari kita pelajari ciri-ciri dari suatu fungsi. Perhatikan aturan membuat sandi sebagai berikut:ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZdefghijklmnopqrstuvwxyzabcABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZa b c d e a b cd e a b cd e a b c d e a b cd e aABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ12345 6 789 012 3456789 0123456ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZzyxwvu tsrqponm lkjih gfedcbaKata AsliDaftar Semua Kata Sandi yangMungkin Dihasilkan Bila MenggunakanAturan 1Aturan 2Aturan 3Aturan 4SelidikiSiapaSebenarnyaSi Udin
Matematika83Kalau kalian mengerjakan dengan sungguh-sungguh, beberapa sandi yang mungkin dihasilkan dapat dilihat pada tabel berikut.Coba lengkapi tabel di atas. Sebagai orang yang kritis dan kreatif, kita bisa mengajukan beberapa pertanyaan. Sebagai contoh:1.Manakah dari aturan 1 sampai dengan aturan 4 tersebut yang paling baik digunakan untuk membuat kata sandi? Mengapa?2.Dengan aturan 2, kata “SIAPA” disandikan menjadi “ddaaa”. Apa keunggulan dan kekurangan dari aturan penyandian ini? Coba kalian rumuskan sedikitnya 3 pertanyaan lain terkait dengan aturan penyandian di atas. Kalau bisa, upayakan pertanyaan kalian memuat kata-kata “sandi” dan “pilihanmu”. Aturan yang menghubungkan himpunan {A, B, C, ..., Z} ke himpunan {a, b, c, ..., z} merupakan fungsi dari himpunan {A, B, C, ..., Z} ke himpunan {a, b, c, ..., z}. Demikian pula dengan aturan yang menghubungkan himpunan{A, B, C, ..., Z} ke himpunan {a, b, c, d}; dan aturan yang menghubungkan himpunan {A, B, C, ..., Z} ke himpunan {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Akan tetapi, sebaliknya, aturan yang menghubungkan himpunan{a, b, c, d} ke himpunan {A, B, C, ..., Z} adalah bukan fungsi dari himpunan {a, b, c, d} ke himpunan {A, B, C, ..., Z}. Aturan yang menghubungkan himpunan {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ke himpunan {A, B, C, ..., Z} juga bukan merupakan fungsi. Perhatikan dengan seksama apakah kata sandi setiap kata bersifat tunggal. Maksudnya: “Apakah setiap kata disandikan hanya dengan satu ‘sandi’ saja? Kata AsliDaftar Semua Kata Sandi yangMungkin Dihasilkan Bila MenggunakanAturan 1Aturan 2Aturan 3Aturan 4SelidikivholglnlSiapaddaaaSebenarnyahvyvmzimbzSi Udin99 1494Masalah3.1
Kelas VIII SMP/MTsSemester I84Sebagai generasi muda yang kritis dan kreatif, tentu kalian harus mempertanyakan. Sebagai contoh, kalian bisa mengajukan pertanyaan:1.Agar suatu aturan bisa disebut fungsi dari himpunan A kepada himpunan B, apa saja syarat yang harus dipenuhi?2.Jika suatu aturan merupakan fungsi dari himpunan A kepada himpunan B, apakah kebalikannya juga merupakan fungsi dari himpunan B kepada himpunan A?Nah... coba buatlah minimal tiga pertanyaan lagi tentang fungsi. Upayakan pertanyaan kalian memuat sedikitnya kata-kata:“semua anggota himpunan A”, “semua anggota himpunan B”, dan/atau “fungsi dari himpunan A kepada himpunan B”. Alternatif Pemecahan MasalahAyoKita AmatiAturan yang menghubungkan antara unsur-unsur dari dua himpunan, secara matematis, biasa disebut dengan istilah relasi. Karena itu, aturan-aturan 1 sampai dengan 4 tersebut adalah relasi. Akan tetapi, aturan-aturan penyandian tersebut bukan hanya sekedar relasi. Aturan itu lebih tepat disebut sebagai fungsi dari himpunan {A, B, C, D, ..., Z} ke himpunan {a,b,c,d,...,z}, atau dari himpunan {A, B, C, D,..., Z} ke himpunan {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, atau dari himpunan {A, B, C, D, ..., Z} ke himpunan {a, b, c, d}. Nah... untuk memahami konsep fungsi, perhatikan dengan seksama kasus-kasus berikut:Misalkan kita mempunyai dua himpunan, yaitu: A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b}. Berikut beberapa relasi yang mungkin terjadi antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B:1.{(1 , a)}2.{(1 , b)}3.{(2 , a)}4.{(2 , b)}5.{(3 , a)}6.{(3 , b)}7.{(1 , a), (2 , b)}8.{(1 , a), (3 , b)}
Matematika85Untuk memahami ciri-ciri dari suatu fungsi, sebaiknya perhatikan uraian berikut. Yang bisa menjadi fungsi dari B = {a,b} ke A = {1,2,3} adalah:1.{(a , 1), (b , 1)}2.{(a , 1), (b , 2)}3.{(a , 1), (b , 3)}4.{(a , 2), (b , 1)}5.{(a , 2), (b , 2)}6.{(a , 2), (b , 3)}7.{(a , 3), (b , 1)}8.{(a , 3), (b , 2)}9.{(a , 3), (b , 3)}Perlu kalian ketahui, dalam konteks fungsi dari Himpunan A ke Himpunan B, maka Himpunan A disebut Daerah Asal atau Domain dan Himpunan B disebut dengan Daerah Kawan atau Kodomain dari fungsi tersebut.9.{(1 , b), (2 , a)}10.{(1 , b), (3 , a)}11.{(2 , a), (3 , b)}12.{(2 , b), (3 , a)}13.{(1, a), (2, a), (3, a)}14.{(1, a), (2, a), (3, b)}15.{(1, a), (2, b), (3, a)}16.{(1, a), (2, b), (3, b)}17.{(1, b), (2, b), (3, b)}18.{(1, b), (2, b), (3, a)}19.{(1, b), (2, a), (3, b)}20.{(1,b), (2,a), (3,a)}Dari 20 relasi di atas, yang bisa dikategorikan sebagai fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi nomor 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, dan 20. Jadi, hanya ada sebanyak 8 fungsi.Selebihnya, dari contoh di atas, tidak memenuhi syarat untuk dikatakan sebagai fungsi dari A ke B.
Kelas VIII SMP/MTsSemester I86Contoh3.1Kalau himpunan pasangan berurutan {(1 , a), (2 , a), (3 , a)} merupakan fungsi dari {1, 2, 3} ke {a , b}, maka Domain dan Kodomain dari fungsi ini berturut-turut adalah {1, 2, 3}dan {a , b}. Contoh3.2Kalau himpunan pasangan berurutan {(a , 3), (b , 1)} merupakan fungsi dari {a , b} ke {1, 2, 3}, maka Domain dan Kodomain dari fungsi ini berturut-turut adalah {a , b} dan {1, 2, 3}.Mungkin kalian bertanya, “lho...pada fungsi {(1 , a), (2 , a), (3 , a)}, seperti pada Contoh 3.1 di atas, sama sekali tidak disebut huruf b. Mengapa Kodomain-nya tetap {a , b}? Mengapa tidak {a} saja?”.Pertanyaan kalian ini penting. Dalam konteks fungsi {(1 , a), (2 , a), (3 , a)} dari {1, 2, 3} ke {a , b}, himpunan semua anggota Kodomain yang menjadi pasangan dari anggota-anggota himpunan Domain memiliki istilah tersendiri, yaitu Daerah Hasil atau Range. Jika f = {(1 , a), (2 , b), (3 , c), (4 , b)} adalah fungsi dari {1, 2, 3, 4} ke himpunan {a, b, c}, maka f(1) = a. Bentuk terakhir ini dibaca dengan “bayangan dari 1 oleh fungsi f adalah a” atau “nilai dari f(1) adalah a”. Jika kita cari nilai dari setiap anggota domain, diperoleh f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, dan f(4) = b. Kalau dikumpulkan semuanya ini, {f(1), f(2), f(3), f(4)} = {a, b, c}. Himpunan semua nilai fungsi atau himpunan semua bayangan inilah yang disebut dengan Daerah Hasil atau Range. Karena itu, pada konteks fungsi {(a , 3), (b , 1)} dari {a , b} ke {1, 2, 3}, Domainnyaadalah {a , b}, Kodomainnya adalah {1, 2, 3}, dan Rangenya adalah {1 , 3}Pemahaman akan nilai fungsi ini seringkali diperlukan untuk merumuskan bentuk fungsi.
Matematika87Contoh3.3Suatu fungsi linier f memiliki nilai 5 pada waktu x = 1, dan memiliki nilai 1 pada waktu x = -1. Tentukan rumus fungsinya.PenyelesaianAlternatifUntuk menentukan rumus fungsi dari suatu fungsi linier f memiliki nilai 5 pada waktu x = 1, dan memiliki nilai 1 pada waktu x = −1, lakukan prosedur berikut.Langkah 1Dari soal tersebut, diketahui bahwa fungsi f adalah fungsi linier. Karena itu, fungsi fbisa dinyatakan dengan rumus f (x) = ax + bLangkah 2Diketahui lebih lanjut bahwa f (1) = 5 dan f (–1) = 1f(x) = ax + b, maka f(1) = a(1) + b= 5a + b = 5 (1)f(–1) = a(–1) + b = 1–a + b= 1(2)Langkah 3dari persamaan (1) dan (2) diperoleha + b = 5–a + b = 1 2a= 4a = 2Langkah 4dari a = 2 disubstitusikan kesalah satu persamaan, misalkan persamaan (1)a + b = 52 + b = 5b = 5 – 2 b = 3 Dengan demikian, nilai a = 2 dan b = 3Jadi, rumus fungsinya adalah f(x) = 2x + 3
Kelas VIII SMP/MTsSemester I88Pemahaman akan nilai fungsi juga akan membantu kita menentukan Daerah Hasil atau Range dari fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan real.Daerah asal fungsi f dari x ke 2x − 1 adalah {x|−1 ≤ x < 2, x ∈ R} Tentukanlah daerah hasilnya. (Keterangan; x ∈ R: x anggota himpunan bagian dari Bilangan Real)Untuk menentukan daerah hasil dari daerah asal fungsi f dari x ke 2x – 1 adalah {x|–1 ≤ x < 2, x ∈R}., lakukan prosedur berikut.Langkah 1Diketahui daerah asal –1 ≤ x < 2, f dari x ke 2x – 1Langkah 2Mengubah bentuk x ke dalam bentuk 2x – 1, yaitu sebagai beikut−1 ≤ x < 2 −2 ≤ 2x < 4dikalikan 2−2 − 1 ≤ 2x −1 < 4 − 1ditambah −1−3 ≤ 2x − 1 < 3 Langkah 3Dari bentuk −3 ≤ 2x − 1 < 3, diketahui rumus fungsi f(x) = 2x − 1, sehingga−3 ≤ f(x) < 3Jadi daerah hasilnya adalah: {f(x)| −3 ≤ f(x) < 3}Ayo KitaMenanya??Sekarang cobalah untuk membuat pertanyaan yang memuat kata-kata berikut?1.“Fungsi dari A ke B”, “Anggota A”, “selalu dipasangkan”, “anggota B”2.“Fungsi dari A ke B”, “anggota A”, “tidak dipasangkan”, “anggota B”3.“Fungsi dari A ke B”, “anggota A”, “dipasangkan”, “lebih dari satu”, “anggota B”Contoh3.4PenyelesaianAlternatif
Matematika89Dari sekian pertanyaan yang kalian berhasil buat, mungkin ada di antaranya pertanyaan-pertanyaan berikut:1.Jika f adalah fungsi dari A ke B, apakah setiap anggota dari A selalu dipasangkan dengan tepat satu anggota B?2.Jika f adalah fungsi dari A ke B, apakah ada anggota A yang tidak dipasangkan dengan satu pun anggota dari B?3.Jika f adalah fungsi dari A ke B, apakah ada anggota A yang dipasangkan dengan lebih dari satu anggota B?Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, cobalah kaji contoh-contoh fungsi yang telah diberikan di atas. Buatlah dugaan tentang ciri-ciri dari suatu fungsi dan tuliskan dugaan tersebut di kertas kalian masing-masing.Selanjutnya, cobalah kalian diskusikan dengan teman sebangku kalian fungsi-fungsi yang mungkin dibentuk dari:1.{1, 2, 3, 4} ke {c , d}2.{c, d} ke {1, 2, 3, 4}Perhatikan Contoh dan Bukan Contoh fungsi- fungsi dari himpunan A = {1, 2, 3} ke himpunan B = {a , b} berikut.Contoh fungsi:Contoh bukan fungsi :1.{(1 , a), (2 , a), (3 , a)}1.{(1 , a), (2 , a), (2 , b)}2.{(1 , b), (2 , b), (3 , b)} 2.{(1 , b), (2 , b), (2 , b)}3.{(1 , a), (2 , a), (3 , b)}3.{(1 , a), (1 , b), (3 , b)}4.{(1 , a), (2 , b), (3 , a)}4.{(2 , a), (2 , b), (3 , a)}5.{(1 , a), (2 , b), (3 , b)}5.{(2 , a), (2 , b), (2 , c)}6.{(1 , b), (2 , a), (3 , a)}6.{(1 , b), (2 , a), (2 , b)}7.{(1 , b), (2 , b), (3 , a)}7.{(3 , a), (3 , b), (3 , c)}8.{(1 , b), (2 , a), (3 , b)}8.{(1 , b), (2 , a), (3 , b)}Coba pusatkan perhatian kita kepada dua hal: (1) apakah setiap anggota A dipasangkan dengan anggota di B?, dan (2) berapa anggota B yang dihubungkan dengan satu anggota A? Ayo KitaMenggali Informasi+=+Ayo KitaMenalar
Kelas VIII SMP/MTsSemester I90Kemudian lengkapilah tabel berikut.No.Contoh FungsiApakah setiap anggota A selalu dipasangkan dengan anggota B?(YA/TIDAK)Apakah pasangan dari setiap anggota domain hanya satu saja di Kodomain (YA/TIDAK)1{(1, a), (2, a), (3, a)}2{(1, b),(2, b),(3, b)}3{(1, a), (2, a), (3, b)}4{(1, a), (2, b), (3, a)}5{(1, a), (2, b), (3, b)}6{(1, b), (2, a), (3, a)}7{(1, b), (2, b), (3, a)}8{(1, b), (2, a), (3, b)}Kemudian lengkapilah tabel berikut.No.Contoh Bukan Fungsi Apakah setiap anggota A selalu dipasangkan dengan anggota B? (YA/TIDAK)Apakah pasangan dari setiap anggota domain hanya satu saja di Kodomain (YA/TIDAK)1{(1, a), (2, a), (2, b)}2{(1, b), (2, b), (2, b)}3{(1, a), (1, b), (3, b)}4{(2, a), (2, b), (3, a)}5{(2, a), (2, b), (2, c)}6{(1, b), (2, a), (2, b)}7{(3, a), (3, b), (3, c)}8{(1, b), (2, a),(3, b)}Tuliskan simpulan kalian pada lembar pengamatan kalian
Matematika91Sekarang coba kalian terapkan simpulan tersebut untuk memeriksa apakah himpunan pasangan berurutan berikut merupakan fungsi dari himpunan B = {a, b} ke himpunan A = {p, q, r, s} atau tidak?1.{(a , p), (b , p)}2.{(a , p), (b , q)}3.{(a , p), (b , r)}4.{(a , q), (b , s)}5.{(a , q), (a , r)}6.{(a , r), (b , t)}7.{(b , s), (b , r), (a , p)}8.{(a , p), (b , q), (a , t)}Ayo KitaBerbagiTulislah kesimpulan kalian tentang ciri-ciri dari fungsi A ke B, dan hasil pemeriksaan kalian terhadap 8 soal di atas. Pertukarkan tulisan tersebut dengan teman sebangku. Secara santun, silahkan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat.SedikitInformasiRelasi adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota dua himpunan. Akan tetapi, seperti diuraikan di atas, relasi dari himpunan A ke himpunan B tidak selalu berupa fungsi. Relasi tidak memaksakan semua anggota Domain dipasangkan. Relasi juga tidak memaksakan bahwa banyak pasangan dari setiap unsurnya harus tunggal. Relasi merupakan konsep yang lebih longgar dibandingkan fungsi. Karena itu, setiap fungsi adalah relasi, tetap tidak setiap relasi merupakan fungsi. Contoh3.5Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 3, 5, 7}Relasi yang didefinisikan adalah “satu lebihnya dari” Apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi?
Kelas VIII SMP/MTsSemester I92PenyelesaianAlternatifUntuk mengetahui apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi atau bukan, lakukan prosedur berikut.Langkah 1Diketahui relasi dari A ke B adalah satu lebihnya dariMaka relasi ini bisa dituliskan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan: {(3, 2), (4, 3)}. Langkah 2Coba kita perhatikan beberapa anggotan A yang tidak bisa dipasangkan ke B, yakni:Beberapa anggota A yang tidak bisa memasangkan ke B adalah 1, 2, dan 5Hal ini karena tidak ada bilangan x di B demikian sehingga “1 itu satu lebihnya dari x di B”, “2 itu satu lebihnya dari x di B”, atau “5 itu satu lebihnya dari x di B” Langkah 3Dengan demikian relasi ini bukan fungsi dari A ke B, karena ada anggota A yang tidak dipasangkan di B.Contoh3.6Misalkan A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, B = {1, 5, 9}Relasi yang didefinisikan adalah “anggota A dua kali anggota B”. Apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi?PenyelesaianAlternatifUntuk mengetahui apakah relasi dari A ke B termasuk fungsi atau bukan, lakukan prosedur berikut.Langkah 1Diketahui relasi dari A ke B adalah anggota A dua kali anggota BMaka dapat dituliskan dalam bentuk pasangan berurutan sebagai berikut:{(2, 1), (10, 5)}.
Matematika93Langkah 2Coba kita perhatikan kembali beberapa anggotan A lainnya yang tidak mempunyai pasangan ke B, yakni:Beberapa anggota A yang tidak mempunyai pasangan ke B adalah 4, 6, 8, 12, 14, dan 16. Hal ini karena tidak ada bilangan x di B demikian sehingga “4 dua kali anggota B”, “6 dua kali anggota B”, “8 dua kali anggota B”, “12 dua kali anggota B”, “14 dua kali anggota B” , dan “16 dua kali anggota B”Langkah 3Dengan demikian relasi ini juga bukan fungsi dari A ke B, karena ada beberapa anggota A tidak mempunyai pasangan di B.Berikut disajikan beberapa contoh fungsi yang lain yang mungkin bermanfaat bagi kalian.Contoh3.7Pada peringatan Hari Kemerdekaan 17 Agustus misalnya, sering orang membuat pola potongan kertas yang disusun selang seling merah, putih, merah, putih, dan seterusnya. Orang menulisnya dengan merah, putih, merah, putih, merah, putih, ...Pola yang terjadi ini juga sebenarnya merupakan fungsi dari himpunan bilangan Asli ke Himpunan potongan kertas warna merah dan warna putih. Secara formal, barisan ini nantinya ditulis sebagai {(1,merah), (2, putih), (3, merah), (4, putih), (5, merah), ...}.Contoh3.8Pada waktu belajar tentang barisan bilangan, kita juga banyak belajar tentang fungsi dengan domain himpunan semua bilangan asli. Barisan bilangan kuadrat bisa ditulis dalam bentuk himpunan pasangan berurut: {(1 , 1), (2 , 4), (3 , 9), (4 , 16), ...}. Contoh3.9Ketika belajar tentang hubungan antara harga barang dan banyaknya barang yang laku dijual, terutama kalau dinyatakan dalam bentuk persamaan linier y = mx + n, misalnya, sebenarnya kita juga belajar fungsi.
Kelas VIII SMP/MTsSemester I94Dalam rangka menarik pelanggan untuk berinvestasi di perusahaan X, manager perusahaan itu menyampaikan rumus laba yang bisa diperoleh dari penjualan barangnya dengan rumus sebagai berikut: misalnya l = 25.000b – 5.000, dengan bmenyatakan banyaknya barang yang laku, dan l besar laba yang diperoleh. Maka, rumus ini menyatakan fungsi dari banyaknya barang yang laku (b) dengan besar laba yang diperoleh (l).Masih banyak lagi contoh lain yang bisa kita temui. Cobalah temukan sebanyak mungkin contoh fungsi lainnya dalam kehidupan sehari-hari atau dalam matematika.Selanjutnya, sajikan fungsi-fungsi itu dengan berbagai macamcarayang telah kita kenal (himpunan pasangan berurut, diagram panah, tabel, grafik, rumus), sambil menemukan kekuatan dan kelemahan cara menyajikan tersebut kalau diterapkan kepada fungsi-fungsi itu.Pusatkan perhatian kita kepada dua hal berikut, yaitu: 1)Sajikan contoh-contoh yang di atas, gunakan dengan berbagai macam menyajikan fungsi yang kalian kenal.2)Tentukan cara yang manakah yang paling mudah untuk di lakukan.1.Perhatikan aturan sandiTulislah arti pesan sandi berikut:a. gkqfu zxqax qrqsqi uxkxax atzoaq ro kxdqib. uxkxax qrqsqi gkqfu zxqax ro ltagsqiSandikan pesan berikut:c. SAYA ANAK INDONESIAd. MATEMATIKA ADALAH KEHIDUPANKU2.Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 6} dan Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.a.Jika dari P ke Q dihubungkan relasi “setengah dari”, tentukan himpunan anggota P yang mempunyai pasangan di Q.b.Jika dari Q ke P dihubungkan relasi “kuadrat dari”, tentukan himpunan anggota Q yang mempunyai pasangan di P.3.Diketahui himpunan A adalah himpunan kuadrat sempurna antara 1 sampai dengan 100 dan himpunan B adalah himpunan bilangan kelipatan tiga antara 1 sampai dengan 100. Latihan!?!?3.1ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmContoh3.10
Matematika95Memahami Bentuk Penyajian FungsiegiatanK 3.2Bentuk Penyajian FungsiSebuah perusahaan taksi menetapkan ketentuan bahwa tarif awal Rp6.000,00 dan tarif setiap kilometernya sebagai Rp2.400,00(a)Dapatkah kalian menetapkan tarif untuk 10 km, 15 km, 20 km?(b)Berapakah tarif untuk 40 km perjalanan?(c) Untuk berapa kilometer dengan uang yang butuhkan adalah Rp80.000,00.Hitungan: aritmatikaBiaya 10 km = 6.000 + 10 × 2.400 = 30.000Biaya 15 km = 6.000 + 15 × 2.400 = 42.000Biaya 20 km = 6.000 + 20 × 2.400 = 54.000Bagaimana dengan rumus fungsinya?TAKSISumber: KemendikbudGambar 3.2 TaksiRelasi yang menghubungkan himpunan A ke B adalah akar dari. a.Sebutkan anggota-anggota himpunan A dan anggotaanggota himpunan Bb.Sebutkan semua pasangan berurutan dari relasi tersebutc.Apakah relasi di atas merupakan fungsi ? d.Tentukan domain, kodomain dan daerah hasil4.Diketahui K = { p, q } dan L = {2, 3, 4}a.Buatlah semua pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan Byang membentuk fungsi b.Tentukan banyaknya fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B.5.Buatlah dua himpunan yang relasinya adalah faktor dari.Masalah3.2
Kelas VIII SMP/MTsSemester I96SedikitInformasiSebelum menentukan rumus fungsinya, mari kita perhatikan cara-cara menyajikan fungsi yang biasa digunakan di dalam Matematika.Misalkan fungsi f dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Relasi yang didefinisikan adalah “dua kali dari”Permasalahan ini dapat dinyatakan dengan 5 cara, yaitu sebagai berikut.Cara 1: Himpunan Pasangan BerurutanDiketahui fungsi f dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Relasi yang didefinisikan adalah “dua kali dari”.Relasi ini dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurut, yaitu berikut:{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)} Cara 3: Rumus FungsiMari kita lihat fungsi dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} yang didefinisikan dengan himpunan pasangan berurut berikut:{(1 , 2), (2 , 4), (3 , 6), (4 , 8), (5 , 10)}.Cara 2: Diagram PanahDiketahui fungsi f dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Relasi yang didefinisikan adalah “dua kali dari”.Relasi ini dapat dinyatakan dengan diagram panah, yaitu berikut: 1234512468357910PQ
Matematika97Maka kita melihat pola sebagai berikut:(1 , 2) → (1 , 2 × 1)(2 , 4) → (2 , 2 × 2)(3 , 6) → (3 , 2 × 3)(4 , 8) → (4 , 2 × 4)(5 , 10) → (5 , 2 × 5)Jadi, untuk setiap x∈P = {1, 2, 3, 4, 5} maka (x, 2 × x) merupakan anggota dari fungsi tersebut.Bentuk ini biasa ditulis dengan f(x) = 2x untuk setiap x∈PInilah yang dinyatakan dengan bentuk rumus tersebut.Cara 4: TabelCara yang lain lagi adalah dengan menggunakan tabel. Untuk contoh terakhir ini, penyajiannya adalah sebagai berikut:x12345f(x)246810Cara 5: Dengan GrafikDiketahui fungsi f dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Relasi yang didefinisikan adalah “dua kali dari”.Relasi ini dapat dinyatakan dengan grafik, yaitu berikut: Uraian di atas menunjukkan macam-macam cara yang bisa digunakan untuk menyatakan fungsi dari himpunan P ke himpunan Q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -110987654321-2-1-3-4-5-6-7-8-9-10yxf(x) = 2x(1, 2)(0, 0)
Kelas VIII SMP/MTsSemester I98Ayo KitaMenalarSeperti diketahui, himpunan itu bermacam-macam jenisnya. Ada himpunan yang beranggotakan bilangan, ada pula himpunan yang beranggotakan bukan bilangan. Ada yang banyak anggotanya terhingga, tetapi ada pula yang banyak anggotanya tak terhingga. Mungkin muncul pertanyaan “Manakah dari cara menyajikan itu yang paling tepat?” Untuk menjawab pertanyaan di atas, cobalah kerjakan soal-soal berikut dan amati apa yang terjadi. Sesudah itu, gunakan penalaran kalian untuk mengambil kesimpulan.1.f adalah fungsi dari himpunan A = {2, 3, 4} ke himpunan X = {4, 5, 6} yang didefinisikan dengan pasangan berurut f = {(2 ,4), (3 , 5), (4 , 6)}. Nyatakan fdengan cara:a.diagram panahb.tabelc.rumusd.grafik2.g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang didefinisikan dengan diagram panah sebagai berikut.Nyatakan fungsi g di atas dengan cara:a.pasangan berurutanb.tabelc.grafik 3.h adalah fungsi dari Himpunan Bilangan Asli {1, 2, 3, 4, ...} ke Himpunan Bilangan Real R dengan rumus: h(n) = 2n - 1Nyatakan fungsi di atas dengan cara:a.pasangan berurutanb.diagram panahc.tabeld.grafik abcA123B
Matematika994.m adalah fungsi dari Himpunan Bilangan Asli {1, 2, 3, 4, ....} ke Himpunan Bilangan Real R yang dinyatakan dengan tabel berikut:1234567...14916253649Nyatakan fungsi di atas dengan cara:a.pasangan berurutanb.diagram panahc.grafik5.Fungsi n dari Himpunan Bilangan Real R ke Himpunan Bilangan Real Rdidefinisikan dengan grafik sebagai berikut:Nyatakan fungsi di atas dengan cara:a.pasangan berurutanb.diagram panahc.tabel Apa yang kalian temukan? Apakah ada cara yang terbaik?Tampaknya masing-masing cara itu memiliki kekuatan dan kelemahan. Temukan kekuatan dan kelemahannya.Kembali ke permasalahan semula ( masalah 3.2 ), yaitu mencari rumus fungsi dari masalah tarif taksi di atas.1010-10-102020-20-20yxAlternatif Pemecahan Masalah
Kelas VIII SMP/MTsSemester I100Di awal telah disampaikan perhitungan beberapa biaya penyewaan taksi sebagai berikut:Biaya 10 km = 6.000 + 10 × 2.400 = 30.000Biaya 15 km = 6.000 + 15 × 2.400 = 42.000Biaya 20 km = 6.000 + 20 × 2.400 = 54.000 Coba perhatikan dengan seksama bilangan-bilangan yang selalu muncul pada setiap persamaan persamaan berikut:Biaya 10 km = 6.000 + 10 × 2.400 Biaya 15 km = 6.000 + 15 × 2.400 Biaya 20 km = 6.000 + 20 × 2.400Perhatikan bilangan 10 di ruas kiri dan bilangan 10 di ruas kanan. Apa kesamaan dan perbedaannya?Perhatikan bilangan 6.000 pada ruas kananTerkait dengan fokus perhatian di atas, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata berikut: “x km di ruas kiri” dan “di ruas kanan” Agar kalian menjadi lebih yakin, cobalah membuat tabel sebagai berikut, dan lengkapilah:Jarak PerjalananCara menghitung biaya1 km6.000 + 1. 2.4002 km6.000 + 2. 2.4003 km6.000 + 3. 2.4004 km6.000 + 4. 2.4005 km6.000 + 5. 2.4006 km6.000 + 6. 2.4007 km6.000 + 7. 2.400......x km6.000 + x. 2.400Jadi, jika B(x) merupakan besar biaya yang harus dikeluarkan untuk menggunakan taksi sejauh x km, maka B(x) dapat dituliskan dengan rumus B(x) = ...Ayo KitaMenggali Informasi+=+AyoKita AmatiAyo KitaMenanya??
Matematika101Berdasarkan informasi yang kalian dapatkan, coba jelaskan bagaimana cara menentukan rumus fungsi jika diketahui fungsi f dinyatakan oleh f(x) = ax + b dengan f(–1) = 2 dan f(2) = 11.Projek 1.Pergilah ke operator-operator telepon seluler, atau carilah informasi di internet. Mintalah informasi tentang bagaimana cara mereka menentukan tarif telepon dalam rentang waktu tertentu, kemudian temukan rumusnya. Selanjutnya, buatlah analisis untuk mengetahui manakah operator yang layak digunakan untuk orang awam dan pebisnis. Tuliskan hasil analisis kalian untuk dipresentasikan ke seluruh warga sekolah. Projek 2.Cobalah temukan bentuk-bentuk “PEMBOROSAN” di dalam kehidupan di rumah atau di sekolah (misalnya: membiarkan keran air tetap menetes meskipun sudah dicoba ditutup rapat, menyalakan lampu di siang hari, dan lain-lain). Carilah informasi untuk menentukan resiko pemborosan tersebut, kemudian susun bahan presentasi yang memuat fungsi (kalau ada) untuk meyakinkan bahaya dibiarkannya pemborosan tersebut. Projek 3.Sediakan wadah air berbentuk kotak, berilah tanda ukuran ketinggian permukaan air yang mungkin terjadi (Kalau kesulitan membuatnya, gunakan gelas pengukur yang biasa dijual di apotik atau toko alat-alat laboratorium). Kemudian buatlah koordinat kartesius dengan sumbu-x menyatakan lama waktu penuangan air ke dalam kotak, dan sumbu-y menyatakan tinggi permukaan air di dalam kotak. Lakukan percobaan air yang menetes dari kran (dengan kecepatan yang stabil) dan buatlah grafik yang memuat hubungan antara lama air menetes dan tinggi permukaan. (Bagaimana kalau kotaknya diganti bentuk lain, tidak tegak lurus, tapi miring, menguncup dll?)TugasProjek3Ayo KitaMenalarPresentasikan karya kalian secara menarik dan meyakinkan (kalau ada fasilitas IT, gunakanlah microsoft power point) di depan kelas.Ayo KitaBerbagi
Kelas VIII SMP/MTsSemester I1021.Diketahui A = {0, 1, 4, 9} dan B = {0, 1, 2, 3, 4}. a.Tentukan relasi yang merupakan fungsi dari A ke Bb.Sajikan relasi tersebut dengan diagram panahc.Sajikan relasi tersebut dengan rumusd.Sajikan relasi tersebut dengan tabele.Sajikan relasi tersebut dengan grafik2.Diketahui suatu fungsi f dengan daerah asal A = {6, 8, 10, 12} dengan rumus fungsi f(x) = 3x - 4a.Tentukan f(6) , f(8), f(10) dan f(12). Kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh?b.Nyatakan fungsi tersebut dengan tabelc.Tentukan daerah hasilnyad.Nyatakan fungsi tersebut dengan grafik3.Diketahui suatu fungsi h dengan rumus h(x) = ax + 9. Nilai fungsi h untuk x = 3 adalah -6.a.Coba tentukan nilai fungsi h untuk x = 6.b.Tentukan rumus fungsi h. Jelaskan caramu.c.Berapakahkah nilai elemen domain yang hasilnya positif.4.Fungsi n dari Himpunan Bilangan Real R ke Himpunan Bilangan Real Rdidefinisikan dengan grafik sebagai berikut:Latihan!?!?3.2Nyatakan fungsi di samping dengan cara:a.pasangan berurutanb.diagram panahc.tabel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10 -9 -8 -7-6 -5 -4 -3 -2 -110987654321-2-1-3-4-5-6-7-8-9-10xy
Matematika1035.Perhatikan gambar berikut ini.Berikut merupakan contoh fungsi dan bukan contoh fungsi dari gambar di atasa.Relasi telur ke wadah disebut dengan fungsi (Gambar 3.4). Mengapa? b.Sedangkan relasi dari wadah ke telur disebut dengan bukan fungsi (Gambar 3.3 dan 3.4). Mengapa?Carilah contoh lain yang ada di sekitar kalian yang merupakan fungsi dan bukan fungsi6.Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = 5 – 3x dengan daerah asal {–2, –1, 0, 1, 2, 3}a.Buatlah tabel dan himpunan pasangan berurutan dari fungsi tersebutb.Gambarlah garfik fungsinya7.Diketahui fungsi f dirumuskan dengan f(x) = – 3x + 6.a.Tentukan bayangan dari – 3 dan 2b.Jika f(a) = – 9, tentukan nilai a.Sumber : matematohir.wordpress.comGambar 3.3 Telur dan WadahSumber : www.anestforallseasons.comGambar 3.4 Telur dan WadahPengalaman belajar tentang fungsi telah kalian lalui. Sekarang, cobalah tuliskan hal-hal penting yang menurut kalian sangat berharga dan kira-kira akan bermanfaat bagi kalian untuk belajar lebih jauh dengan menjawab pertanyaan berikut ini:1.Apa syarat suatu relasi merupakan fungsi?2.Mungkinkah ada fungsi dari suatu himpunan ke himpunan itu sendiri?3.Sebutkan ada berapa banyak cara menyajikan fungsi.4.Bagaimana cara menentukan nilai fungsi?Merangkum3
Kelas VIII SMP/MTsSemester I104UjiKompetensi+=+??31.Pak Mahir mempunyai tiga anak: bernama Budi, Ani, dan Anton. Pak Ridwan mempunyai dua anak: bernama Alex dan Rini. Pak Rudi mempunyai seorang anak bernama Suci.a.Nyatakan dalam diagram panah, relasi “ayah dari” .b.Apakah relasi tersebut merupakan fungsi ? Jelaskan.c.Nyatakan dalam diagram panah, relasi “anak dari” .d.Apakah relasi pada soal c merupakan fungsi ? Jelaskan .2.Fungsi fdidefinisikan dengan rumus f(x) = 5 – 3x dan diketahui daerah asalnya adalah {–2, –1, 0, 1, 2, 3},a.Buatlah tabel dan himpunan pasangan berurutan dari fungsi tersebut.b.Gambarlah grafik fungsinya.3.Daerah asal fungsi yang didefinisikan dengan fungsi f dari x ke 2x – 1 adalah {}Rxxx∈<<−,32. Tentukanlah daerah hasilnya. 4.Jika A = {2, 3, 5, 7} dan B = {4, 6, 8, 9, 10}, tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin.5.Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus f(x) = 5 − 3x dengan daerah asal {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.a.Buatlah tabel dan himpunan pasangan berurutan dari fungsi tersebut.b.Gambarlah grafik fungsinya.6.Misalkan ada suatu fungsi f dari x ke 4x − 2.7.Tentukan rumus fungsinya .8.Tentukan bayangan (daerah hasil) dari 2, −2, 4, −4, , dan .9.Jika 8 adalah bayangan dari p, tentukanlah nilai p .7.Fungsi f ditentukan oleh f(x) = ax + b. Jika bayangan dari −3 adalah −15 dan bayangan dari 3 adalah 9, tentukan nilai dari f(−2) + f(2) .8.Fungsi f ditentukan oleh f(x) = ax + b. Jika himpunan pasangan berurutannya adalah (p , −3); (−3 , q); (2, −2); dan (−2 , 6) terletak pada grafik fungsi tersebut. Tentukan nilai p, q, dan r .9.Diketahui fungsi f dirumuskan dengan f(x) = – 2x + 3.a.Tentukan bayangan dari – 2 dan 3.b.Jika f(a) = – 7, tentukan nilai a .10.Sebuah rumah mempunyai bak penampung air. Melalui sebuah pipa, air dialirkan dari bak penampungan ke dalam bak mandi. Volume air dalam bak mandi setelah 5 menit adalah 25 liter dan setelah 10 menit adalah 50 liter. Volume air dalam bak mandi setelah dialiri air selama t menit dinyatakan sebagai V(t) = (V0 + at) liter, dengan V0 adalah volume air dalam bak mandi sebelum air dialirkan dan a adalah debit air (volume air) yang dialirkan setiap menit.a.Tentukan volume air dalam bak mandi sebelum air dialirkan .b.Berapa volume air dalam bak mandi setelah 15 menit ?